Które z nich naj­bar­dziej opłaca się kupo­wać? [UWAGA! zawiera wzory matematyczne!]

Każ­do­ra­zowa wycieczka do sklepu spo­żyw­czego dostar­cza nam moż­li­wo­ści kupie­nia tysiąca róż­nych pro­duk­tów. Ja oso­bi­ście nie jestem w sta­nie kupić niczego, dopóki nie zer­knę na skład i war­to­ści odżyw­cze. W końcu jak już mam za coś pła­cić, to chce wie­dzieć za co. Ile g tłusz­czu, czy zawiera ben­zo­esan sodu, ile ma kalo­rii, itp. Z jaj­kami nie ma takiego pro­blemu, bo to jest w żaden spo­sób nie­prze­two­rzony pro­dukt, pro­sto z kury — bra­łem zawsze roz­miar L, bo małe jajka to pedal­stwo. Jed­nak jakieś dwa lata temu jajka podro­żały o około 150%, co było cio­sem dla stu­denc­kiego budżetu. Zaczą­łem się zasta­na­wiać, którą kate­go­rię wagową naj­roz­sąd­niej jest kupować.

Moje roz­wa­ża­nia są oparte na roz­kła­dzie Gaussa, powszech­nie zna­nym jako roz­kład nor­malny. Bar­dzo dobra nazwa, gdyż bar­dzo, bar­dzo, bar­dzo czę­sto wystę­puje w natu­rze. Jest czymś nor­mal­nym. Zobra­zujmy to na przy­kła­dzie: roz­kład wzro­stu męż­czyzn w wieku 20 lat. Wśród wszyst­kich męż­czyzn można zna­leźć taki wzrost, który ma naj­więk­sza ilość osób. Im więk­sze odchy­le­nie od tej war­to­ści, tym mniej­sze praw­do­po­do­bień­stwo jej wystą­pie­nia. Na pod­sta­wie tych oczy­wi­stych obser­wa­cji mamy już jakieś poję­cie o tema­cie. Rzućmy więc okiem jak to wygląda na to patrzą naukowcy.

Podobno każdy użyty wzór zmniej­sza ilość poten­cjal­nych czy­tel­ni­ków o połowę.

Pierw­sze rzuca się w oczy wzór. Zaczy­na­jąc od pod­staw x jest naszą zmienną, a exp ozna­cza do potęgi. Na osi y (tej pio­no­wej) mamy praw­do­po­do­bień­stwo wystą­pie­nia. Można sobie pomno­żyć razy 100 i roz­wa­żać jako pro­centy. Dalej mamy:

μ [mi] — war­tość ocze­ki­wana, czyli ta naj­czę­ściej wystę­pu­jąca. Załóżmy dla roz­wa­ża­nego wzro­stu μ = 180 cm

σ [sigma] — odchy­le­nie stan­dar­dowe, czyli para­metr okre­śla­jący jak daleko od war­to­ści ocze­ki­wa­nej mogą się znaj­do­wać wyniki. Przyj­mijmy sobie σ = 10 cm

Spójrzmy teraz na wykres. W odle­gło­ści σ od war­to­ści ocze­ki­wa­nej widzimy 34,1%. Czyli wg. moich zało­żeń ilość męż­czyzn w wieku 20 lat o wzro­ście pomię­dzy 180 cm i 190 cm to 34,1%. Tak samo dla wzro­stu 170 — 180 cm. Czyli w odle­gło­ści jeden sigma od naszej war­to­ści ocze­ki­wa­nej znaj­dzie się 68,2% roz­pa­try­wa­nej popu­la­cji. Idąc dalej tym tro­pem, możemy stwier­dzić, że męż­czyzn o wzro­ście pomię­dzy 160 cm, a 200 cm to 95.4% całej popu­la­cji. Następ­nie mamy odle­głość 3 sigma, która to obej­muje 99,6% przy­pad­ków. Więk­szych odchy­leń się raczej nie roz­waża, gdyż można je przy­jąć za błąd statystyczny.

No dobrze, ale co to ma wspól­nego z jaj­kami? Masa, wg. któ­rej są one kla­sy­fi­ko­wane rów­nież pod­lega roz­kła­dowi nor­mal­nemu. Jedyny pro­blem, to próba osza­co­wa­nia war­to­ści ocze­ki­wa­nej i odchy­le­nia stan­dar­do­wego. Zaku­pi­łem w Lidlu dwie losowo wybrane ze środka paczki jajek (nigdy nie biorę pro­duk­tów z brzegu, nie chcę ryzy­ko­wać, że ktoś uszka­dził pro­dukty pod­czas oglę­dzin — poła­mane cia­steczka itp.). Klasa wagowa M 53–63 g i L 63–73 g. Masa pojem­nika w któ­rym je waży­łem to 60 g. Jaj w paczce jest 12. Teraz tro­chę czar­nej magii, czyli odej­mo­wa­nie i dzie­le­nie i otrzy­mu­jemy śred­nią masę jajka klasy M = 58 g, L = 67 g.

Po lewej L — 730 g, po pra­wej M — 640 g

Na pod­sta­wie zna­jo­mo­ści klas wago­wych jaj, naj­roz­sąd­niej­sze zało­że­nie to μ = 63 g, σ = 7 g , czyli sytu­acja wyglą­da­łaby tak jak na wykre­sie poni­żej. Czyli kupu­jąc jajka L, można się spo­dzie­wać, że będą one bli­żej gór­nej gra­nicy zakresu, tym bar­dziej S. Odwrot­nie dla L i XL, tutaj śred­nia masa będzie bli­żej dol­nej gra­nicy, co zga­dza się z doświad­cze­niem powy­żej. Czy to w takim razie ozna­cza, że naj­bar­dziej opłaca się kupo­wać roz­miar S, a naj­mniej XL? Nie, szcze­gól­nie, że róż­nice cenowe są stałe pomię­dzy roz­mia­rami. Żeby odpo­wie­dzieć na to pyta­nie, trze­baby poznać roz­kład mas zno­szo­nych jajek, wyli­czyć śred­nią wagę jajka dla każ­dej kate­go­rii i uwzględ­nić cenę. Osta­tecz­nym wyznacz­ni­kiem mógłby być koszt 100g jajka w zależ­no­ści od kate­go­rii wagowej.

Roz­miar S to jajka o masie poni­żej 53 g, ale na wykre­sie usta­wi­łem 43–53 g. Mniej­sze zda­rzają się tak rzadko, że nie ma sensu ich roz­wa­żać. Tak samo wygląda sytu­acja z XL.

A więc gdyby dys­po­no­wać odpo­wied­nimi danymi sta­ty­stycz­nymi, można by obli­czyć którą kate­go­rią wagową naj­bar­dziej opłaca się kupo­wać i zaosz­czę­dzić na tym kil­ka­dzie­sięt gro­szy. W skali roku.

Czyli nie ma to żad­nego prak­tycz­nego użytku, jed­nak po pro­stu chciał­bym to wie­dzieć. Gdy­bym umarł tra­giczną śmier­cią przed roz­wi­kła­niem tej zagadki, wró­cił­bym jako duch z nie­do­koń­czoną sprawą i nawie­dzał fermy drobiu.